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高一數學第一單元函數的有關概念知識點

時間:2020-02-23 數學 我要投稿

  1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),xA.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| xA }叫做函數的值域.

  注意:○2如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;○3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式. 義域補充

  能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域,求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. (又注意:求出不等式組的解集即為函數的定義域。) 構成函數的三要素:定義域、對應關系和值域

  再注意:(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

  (見課本21頁相關例2) 值域補充

  (1)、函數的值域取決于定義域和對應法則,不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域,它是求解復雜函數值域的基礎。 3. 函數圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標系中,以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.

  C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , xA }

  圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫法

  A、描點法:根據函數解析式和定義域,求出x,y的一些對應值并列表,以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

  常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用:

  1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。 發現解題中的錯誤。 4.快去了解區間的概念

  (1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示. 5.什么叫做映射

  一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A B

  給定一個集合A到B的映射,如果aA,bB.且元素a和元素b對應,那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

  說明:函數是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有方向性,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f:AB來說,則應滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 常用的函數表示法及各自的優點:

  ○1 函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;○2 解析法:必須注明函數的定義域;○3 圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;○4 列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征.

  注意啊:解析法:便于算出函數值。列表法:便于查出函數值。圖象法:便于量出函數值 補充一:分段函數 (參見課本P24-25)

  在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集. 補充二:復合函數

  如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x),(xA) 稱為f、g的復合函數。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函數單調性 (1).增函數

  設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1

  如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

  注意:○1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函數的局部性質; ○2 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1,x2;當x1

  如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的. (3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義法:

  ○1 任取x1,x2D,且x1

  (B)圖象法(從圖象上看升降)_ (C)復合函數的單調性

  復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律如下:

  函數 單調性

  u=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 增 減 y=f[g(x)] 增 減 減 增

  注意:1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎? 8.函數的奇偶性 (1)偶函數

  一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數. (2).奇函數

  一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函數.

  注意:○1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性,函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

  ○2 由函數的奇偶性定義可知,函數具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內的任意一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱). (3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

  偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

  總結:利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟:○1 首先確定函數的定義域,并判斷其定義域是否關于原點對稱;○2 確定f(-x)與f(x)的關系;○3 作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數. 注意啊:函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=眆(x)比較困難,可考慮根據是否有f(-x)眆(x)=0或f(x)/f(-x)=?來判定; (3)利用定理,或借助函數的圖象判定 . 9、函數的解析表達式

  (1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.

  (2).求函數的解析式的主要方法有:待定系數法、換元法、消參法等,如果已知函數解析式的構造時,可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)

  10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

  ○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值○2 利用圖象求函數的最大(小)值○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

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