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高一數學函數知識點

時間:2020-02-23 數學 我要投稿

  (一)、映射、函數、反函數

  1對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別,映射是一種特殊的對應,而函數又是一種特殊的映射.

  2對于函數的概念,應注意如下幾點:

  (1)掌握構成函數的三要素,會判斷兩個函數是否為同一函數.

  (2)掌握三種表示法列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數關系式,特別是會求分段函數的解析式.

  (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數,其中g(x)為內函數,f(u)為外函數.

  3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟:

  (1)確定原函數的值域,也就是反函數的定義域;

  (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

  (3)將x,y對換,得反函數的習慣表達式y=f-1(x),并注明定義域.

  注意①:對于分段函數的反函數,先分別求出在各段上的反函數,然后再合并到一起.

  ②熟悉的應用,求f-1(x0)的值,合理利用這個結論,可以避免求反函數的過程,從而簡化運算.

  (二)、函數的解析式與定義域

  1、函數及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數是不存在的,因此,要正確地寫出函數的解析式,必須是在求出變量間的對應法則的同時,求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型:

  (1)有時一個函數來自于一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結合實際意義考慮;

  (2)已知一個函數的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

  ①分式的分母不得為零;

  ②偶次方根的被開方數不小于零;

  ③對數函數的真數必須大于零;

  ④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

  ⑤三角函數中的正切函數y=tanx(xR,且kZ),余切函數y=cotx(xR,x,kZ)等.

  應注意,一個函數的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

  (3)已知一個函數的定義域,求另一個函數的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

  已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足ab的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域.

  2、求函數的解析式一般有四種情況

  (1)根據某實際問題需建立一種函數關系時,必須引入合適的變量,根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

  (2)有時題設給出函數特征,求函數的解析式,可采用待定系數法.比如函數是一次函數,可設f(x)=ax+b(a0),其中a,b為待定系數,根據題設條件,列出方程組,求出a,b即可.

  (3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法求函數f(x)的表達式,這時必須求出g(x)的值域,這相當于求函數的定義域.

  (4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現其他未知量(如f(-x),等),必須根據已知等式,再構造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達式.

  (三)、函數的值域與最值

  1、函數的值域取決于定義域和對應法則,不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域,求函數值域常用方法如下:

  (1)直接法:亦稱觀察法,對于結構較為簡單的函數,可由函數的解析式應用不等式的性質,直接觀察得出函數的值域.

  (2)換元法:運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域,若函數解析式中含有根式,當根式里一次式時用代數換元,當根式里是二次式時,用三角換元.

  (3)反函數法:利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系,通過求反函數的定義域而得到原函數的值域,形如(a0)的函數值域可采用此法求得.

  (4)配方法:對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

  (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b[a,b(0,+)]可以求某些函數的值域,不過應注意條件一正二定三相等有時需用到平方等技巧.

  (6)判別式法:把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程,利用△求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

  (7)利用函數的單調性求值域:當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性,可采用單調性法求出函數的值域.

  (8)數形結合法求函數的值域:利用函數所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數的值域,即以數形結合求函數的值域.

  2、求函數的最值與值域的區別和聯系

  求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數的值域中存在一個最小(大)數,這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域,其實質是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

  如函數的值域是(0,16],最大值是16,無最小值.再如函數的值域是(-,-2][2,+),但此函數無最大值和最小值,只有在改變函數定義域后,如x0時,函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

  3、函數的最值在實際問題中的應用

  函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現為工程造價最低,利潤最大或面積(體積)最大(最小)等諸多現實問題上,求解時要特別關注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.

  (四)、函數的奇偶性

  1、函數的奇偶性的定義:對于函數f(x),如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

  正確理解奇函數和偶函數的定義,要注意兩點:(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

  2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性,有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式:

  注意如下結論的運用:

  (1)不論f(x)是奇函數還是偶函數,f(|x|)總是偶函數;

  (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數,那么在D1D2上,f(x)+g(x)是奇函數,f(x)g(x)是偶函數,類似地有奇奇=奇奇奇=偶,偶偶=偶偶偶=偶奇偶=奇

  (3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

  (4)奇函數的導函數是偶函數,偶函數的導函數是奇函數。

  3、有關奇偶性的幾個性質及結論

  (1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

  (2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零,那么它既是奇函數又是偶函數.

  (3)若奇函數f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立.

  (4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數,則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

  (5)若f(x)的定義域關于原點對稱,則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

  (6)奇偶性的推廣

  函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),則y=f(x)的圖象關于點(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數.

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