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三角函數的誘導公式知識點

時間:2017-10-11 數學 我要投稿

   利用三角函數的誘導公式可以把任意角的三角函數化為銳角三角函數,利用誘導公式能進行任意角的三角函數的求值、化簡、證明。本文是小編整理三角函數的誘導公式的資料,僅供參考。

  三角函數的誘導公式

  誘導公式的本質

  所謂三角函數誘導公式,就是將角n·(π/2)±α的三角函數轉化為角α的三角函數。

  常用的誘導公式

  公式一: 設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα k∈z

  cos(2kπ+α)=cosα k∈z

  tan(2kπ+α)=tanα k∈z

  cot(2kπ+α)=cotα k∈z

  公式二: 設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三: 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六: π/2±α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  推算公式:3π/2±α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(3π/2+α)=-cosα

  cos(3π/2+α)=sinα

  tan(3π/2+α)=-cotα

  cot(3π/2+α)=-tanα

  sin(3π/2-α)=-cosα

  cos(3π/2-α)=-sinα

  tan(3π/2-α)=cotα

  cot(3π/2-α)=tanα

  誘導公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限”。

  “奇、偶”指的是π/2的倍數的奇偶,“變與不變”指的是三角函數的名稱的變化:“變”是指正弦變余弦,正切變余切。(反之亦然成立)“符號看象限”的含義是:把角α看做銳角,不考慮α角所在象限,看n·(π/2)±α是第幾象限角,從而得到等式右邊是正號還是負號。

  符號判斷口訣:

  “一全正;二正弦;三兩切;四余弦”。這十二字口訣的意思就是說: 第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”; 第二象限內只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限內只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限內只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

  “ASCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應的三角函數為正值。

  所有三角函數誘導公式

  常用的誘導公式有以下幾組:

  公式一:

  設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα

  cos(2kπ+α)=cosα

  tan(2kπ+α)=tanα

  cot(2kπ+α)=cotα

  公式二:

  設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三:

  任意角α與 -α的三角函數值之間的關系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六:

  π/2±α與α的三角函數值之間的關系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  誘導公式記憶口訣

  ※規律總結※

  上面這些誘導公式可以概括為:

  對于k·π/2±α(k∈Z)的個三角函數值,

  ①當k是偶數時,得到α的同名函數值,即函數名不改變;

  ②當k是奇數時,得到α相應的余函數值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

  (奇變偶不變)

  然后在前面加上把α看成銳角時原函數值的符號。

  (符號看象限)

  例如:

  sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數,所以取sinα。

  當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

  所以sin(2π-α)=-sinα

  上述的記憶口訣是:

  奇變偶不變,符號看象限。

  公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

  所在象限的原三角函數值的符號可記憶

  水平誘導名不變;符號看象限。

  各種三角函數在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦;三為切;四余弦”.

  這十二字口訣的意思就是說:

  第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”;

  第二象限內只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

  第三象限內切函數是“+”,弦函數是“-”;

  第四象限內只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

  上述記憶口訣,一全正,二正弦,三正切,四余弦

  其他三角函數知識:

  同角三角函數基本關系

  ⒈同角三角函數的基本關系式

  倒數關系:

  tanα ·cotα=1

  sinα ·cscα=1

  cosα ·secα=1

  商的關系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscα/secα

  平方關系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  1+tan^2(α)=sec^2(α)

  1+cot^2(α)=csc^2(α)

  同角三角函數關系六角形記憶法

  六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

  構造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

  (1)倒數關系:對角線上兩個函數互為倒數;

  (2)商數關系:六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。

  (主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積)。由此,可得商數關系式。

  (3)平方關系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

  兩角和差公式

  ⒉兩角和與差的三角函數公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

 

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tanα+tanβ

  tan(α+β)=——————

  1-tanα ·tanβ

  tanα-tanβ

  tan(α-β)=——————

  1+tanα ·tanβ

  倍角公式

  ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  2tanα

  tan2α=—————

  1-tan^2(α)

  半角公式

  ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

  1-cosα

  sin^2(α/2)=—————

  2

  1+cosα

  cos^2(α/2)=—————

  2

  1-cosα

  tan^2(α/2)=—————

  1+cosα

  萬能公式

  ⒌萬能公式

  2tan(α/2)

  sinα=——————

  1+tan^2(α/2)

  1-tan^2(α/2)

  cosα=——————

  1+tan^2(α/2)

  2tan(α/2)

  tanα=——————

  1-tan^2(α/2)

  萬能公式推導

  附推導:

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

  (因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)

  再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))

  然后用α/2代替α即可。

  同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

  三倍角公式

  ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  3tanα-tan^3(α)

  tan3α=——————

  1-3tan^2(α)

  三倍角公式推導

  附推導:

  tan3α=sin3α/cos3α

  =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

  =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

  上下同除以cos^3(α),得:

  tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

  sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

  =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

  =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)

  =3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

  =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

  =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

  =4cos^3(α)-3cosα

  即

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  三倍角公式聯想記憶

  記憶方法:諧音、聯想

  正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負數),所以要“掙錢”(音似“正弦”))

  余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)

  ☆☆注意函數名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

  和差化積公式

  ⒎三角函數的和差化積公式

  α+β α-β

  sinα+sinβ=2sin—----·cos—---

  2 2

  α+β α-β

  sinα-sinβ=2cos—----·sin—----

  2 2

  α+β α-β

  cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----

  2 2

  α+β α-β

  cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----

  2 2

  積化和差公式

  ⒏三角函數的積化和差公式

  sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα ·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化積公式推導

  附推導:

  首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

  我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

  所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.

  我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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